Gravitace

Nejedná se o ucelené povídání o gravitaci, ale spíše ukázka nepochopení některých principů i v Newtonovském přístupu.

Výpočet uvnitř tělesa

Gravitační sílu lze vypočítat pomocí vzorečku \[F = G {{m_1 \cdot m_2} \over R^2},\] kde \(G\) je gravitační konstanta, \(m_1, m_2\) jsou hmotnosti těles a \(R\) jejich vzdálenost. Pokud bychom ale chtěli počítat sílu v okamžiku, kdy se jedno těleso nachází uvnitře druhého, tento zjednodušený vzoreček přestane dávat smysl, protože část hmoty většího tělesa už působí na opačnou stranu. Jednoduchým řešením by bylo převést těleso do diskrétní podoby (nahradit jej velkým množstvím malých těles, rovnoměrně rozložených v objemu, jejichž celková hmotnost je stejná, jako hmotnost původního tělesa) a posčítat příspěvky sil od jednotlivých částí.

Interaktivní ukázka, jak takový výpočet probíhá a jaký je rozdíl oproti jednoduchému vzorečku je zde. Použité hodnoty jsou:

\(G\) - Protože se jedná pouze o konstantu, která říká, jak velká je základní jednotka (Newton), dovolil jsem si ji pro zjednodušení ověření nastavit na 1000. Na výsledek to nemá žádný vliv, jen čísla se správnou hodnotou \(G\) by byla ošklivější pro člověka
\(m_1\) - Hmotnost malého tělesa je 1 a jeho poloměr je 1 jednotka
\(m_2\) - Hmotnost velkého tělesa je 1000 a jeho poloměr je 100 jednotek

Pokud se spokojíme s výpočtem pro homogenní kouli, bylo by možné v případě, že se objekt nachází uvnitř objemu, využít analogii Gaussova zákona, který říká, že na částici působí síly odpovídající hmotě koule o poloměru \(r\) daného vzdáleností objektu od středu koule:

\[F = G {{m_1 \cdot m_2 \cdot r} \over R^3} \]

Pohybem myši lze měnit polohu malého objektu. Černé čáry naznačují příspěvky od vybraných částí velkého tělesa, červeně je pak směr a velikost výsledné síly, daná součtem jednotlivých příspěvků. Hodnota F(diff) ukazuje výslednou sílu získanou diskrétním přístupem, F(analytic) je výsledná síla získaná klasickým výpočtem. Mimo těleso jsou obě síly shodné, drobné odchylky mohou být způsobeny malým rozdělením velkého tělesa (kvůli rychlosti v prohlížeči). Hodnota F(inner) ukazuje zjednodušený výpočet uvnitř homogenní koule, který naopak nefunguje mimo objem.

Najeďte myší do orámované oblasti

Rychlost na oběžné dráze

Výpočet oběžné dráhy pouze s použitím Newtonovových zákonů ukazuje, jak se mění rychlost tělesa na eliptické oběžné dráze. Konkrétní jednotky nejsou důležité. Kvůli názornosti je elipsa značně protáhlá. V případě země je rozdíl necelých 5 % (147 - 152 milionů kilometrů).

Najeďte myší do černé oblasti