Pokles horizontu je jedním z oblíbených plochozemských ukazatelů. Nejčastější je známý "vzorec sférické trigonometrie" 8 palců na míli čtvereční, nebo jeho metrická varianta 7,84 cm na čtvereční kilometr. Kde se ta čísla vzala? A proč plochozemcům nevadí měřit vzdálenost v kubických jednotkách cm * km * km?
Ještě než se pustím do samotného odvozování, je třeba zmínit že celý plochozemský koncept toho, co může a nemůže být vidět, počítaný pomocí oněch 7,84 cm, je naprosto zcestný. Zanedbáním výšky pozorovatele se dopouštíme zásadní nepřesnosti, která výsledek silně ovlivňuje (viz obrázek). Stejně tak by měl být brán v potaz reliéf mezi oběma místy a atmosférická refrakce, která způsobuje ohyb světla a za běžných podmínek nám umožňuje vidět podstatně dál. Z tohoto pohledu jsou extrémní především pozorování v blízkosti nad vodní hladinou, kde může působit podstatně silnější refrakce, než dostatečně vysoko nad zemí. To je jeden z důvodů, proč plochozemci tak rádi provádí měření právě v takovém prostředí. Co taková refrakce dokáže se můžete podívat např. zde.
Ta intuitivnější, ale hloupější využije trojúhelník S D1 P (viz interaktivní obrázek), který má strany: `R`, `d` a `R+h`.
Výpočet tedy po úpravách vypadá následovně:| `d^2 + R^2 = (R+h)^2` | |
| `d^2 + R^2 = R^2 + 2Rh + h^2` | `\/ -R^2` |
| `d^2 = 2Rh + h^2` | `\/ -d^2` |
| `h^2 + 2Rh - d^2 = 0` |
| `h = { -2R + \sqrt{4R^2 + 4d^2}} / 2` | |
| `h = -R + \sqrt{R^2 + d^2}` |
Při pohledu na obrázek se však nabízí druhé, rozumnější řešení v podobě trojúhelníku S D1` C, které skutečně ukazuje kolmou vzdálenost od horizontálního směru pohledu. Trojúhelník má strany: `R`, `d` a `R-h`.
Z Pythagorovy věty tedy:
`R^2 = d^2 + (R-h)^2`Podobnými úpravami jako v předchozím případě dojdeme k řešení:
`h = R - \sqrt{R^2 - d^2}`Obě předchozí varianty jsou poměrně komplikované na vypočítání z hlavy. Pokud se ale podíváme s jakými čísly pracujeme (`R = 6378`, `d` typicky pár desítek km), můžeme si celou věc zjednodušit. Je jedno, z kterého z předchozích vzorců vyjdeme, ten důležitý krok je uvědomění si, že `d^2` je v porovnání s `R^2` zanedbatelné a jeho vynecháním se dopustíme pouze malé chyby.
| `d^2 + R^2 = R^2 + 2Rh + h^2` | `\/ -R^2, h^2 = 0` |
| `d^2 ≈ 2Rh` | `\/ :2R` |
| `h ≈ d^2 / {2R}` |
To je samo o sobě poměrně pěkné zjednodušení, ta hlavní finta však teprve přijde. `1/{2R} ≈ 0.0000784` [1/km]. Vzhledem k tomu, že celý výpočet máme v kilometrech, můžeme toto číslo upravit na centimetry tím, že jej vynásobíme 100 000, dostaneme tedy těch slavných plochozemských 7,84 cm, a celý přibližný vzoreček je:
`h = 7.84 \cdot d^2`Všechny předchozí varianty braly vzdálenost jako vzdálenost ve směru horizontálního pohledu. Pokud však měříme vzdálenost na mapě, jdeme po povrchu a vzdálenost tedy bude jiná. K tomu už bude třeba sáhnout po úhlech a goniometrických funkcích. Vzdálenost si poměrně snadno převedeme na stupně tak, že vezmeme změřenou vzdálenost, vydělíme ji obvodem (tedy cca 40000, nebo lépe `2 \pi R`) a vynásobíme 360, tedy `\alpha = d / {2 \pi R} \cdot 360°`.
Mnohem jednodušší je však využít při výpočtu úhlu měřeného v radiánech na místo ve stupních. Převod na radiány totiž spočívá ve vydělení úhlu 360 a vynásobením `2 \pi`, což nám krásně zjednodušší úhel na `d / R` rad.
Funkce `cos` nám pomůže spočítat jednu z odvěsen pravoúhlého trojúhelníku. My však potřebujeme rozdíl této odvěsny od celého poloměru, tedy: `h = R(1-cos(d/R))`.
Matematika je krásná. Dokonce i z tohoto vzorečku lze odvodit "plochozemskou" aproximaci 7,84 cm na kilometr čtvereční. Pro malé úhly (v řádech jednotek stupňů, což odpovídá stovkám kilometrů) lze nahradit: `cos(\alpha) ≈ 1 - \alpha^2/2` (odvození této aproximace je na jiné povídání). Po dosazení tak dostáváme:
| `h ≈ R (1 - (1-(d / R)^2/2)) = R(d^2/R^2)/2 = d^2/{2R}` |
Na obrázku jsou odpovídající barvou znázorněny jednotlivé varianty výpočtu. Hodnotu `d` lze myší měnit.
| Vzdálenost [km] | Varianta 1 [m] | Varianta 2 [m] | Varianta 3 [m] | Varianta 4 [m] |
|---|
Z geometrické reprezentace i tabulky lze vidět, že pro praktické vzdálenosti v řádech desítek či nižších stovek kilometrů, je naprosto jedno, který ze vzorečků použijeme a plochozemských 7,84 cm na kilometr čtvereční je z tohoto pohled naprosto vyhovující. Jak už ale bylo napsáno hned v úvodu, samotný princip zkoumání viditelnosti bez započítání výšky pozorovatele, je naprosto zcestný koncept. Samostatné kapitoly jsou pak reliéf mezi oběma místy a vliv atmosféry na refrakci světla.
Rozbory několika fotografií a toho, co by mělo a nemělo být vidětm najdete zde.